Gaussalgorithmus anwenden - Video
Eine Steckbriefaufgabe ist eine Kurvendiskussion rückwärts. So könnte man es beschreiben. Im Video geht es darum, eine Funktionsgleichung 3. Grades zu finden, die bestimmten Vorgaben gerecht werden soll. Die Funktion soll dabei folgende Eigenschaften erfüllen: Sie soll einen Hochpunkt bei (1/7) und einen Tiefpunkt bei (3/1)
haben. Um diese Aufgabe zu lösen, wird der Gaussalgorithmus angewandt.
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Steckbriefaufgabe - Funktion 3. Grades bestimmen
Eine Steckbriefaufgabe ist eine Kurvendiskussion rückwärts. So könnte man es nennen. Im Video geht es darum, eine Funktionsgleichung 3. Grades zu finden, die bestimmten
Vorgaben gerecht werden soll. Die Funktion soll dabei folgende Eigenschaften erfüllen: Sie soll einen Hochpunkt bei (1/7) und einen Tiefpunkt bei (3/1)
haben. Um diese Aufgabe zu lösen, wird der Gaussalgorithmus angewandt.
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Komplette Kurvendiskussion einer e-Funktion
Videobeschreibung
In diesem Video wird eine Kurvendiskussion der e-Funktion f(x)=(2-x)e^x durchgeführt. Es werden dabei folgende Merkmale einer Funktion untersucht:
- Nullstellen
- Extremstellen
- Wendestellen
- Symetrieeigenschaften
- Randverhalten / Monotonieverhalten
- Krümmungsverhalten
Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion
Bei einer Kurvendiskussion werden wichtige Untersuchungen an der vorgegebenen Funktion untersucht. Meistens sind diese folgende: Nullstellen, Extrema (Maximum bzw. Minimum), Verhalten im Unendlichen, Wendestellen.
Beispielvorgehensweise: Um zu sehen, ob die Funktion Extremstellen hat, wird die erste Ableitung gleich Null gesetzt. Gibt es eine Lösungsmenge, so hat man die notwendige Bedingung für Extremstellen bzw. Extrema erfüllt. Um zu schauen, ob die Extremstelle ein Maximum oder Minimum ist, wird der erittelte x-Wert in die zweite Ableitung der Funktion eingesetzt. Ist der errechnete y-Wert dann negativ, so ist die Extremstelle ein Maximum. Ist der errechnete y-Wert dann positiv, so ist die Extremstelle ein Minimum.
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Kurvendiskussion einer e-Funktion (Exponentialfunktion) Video
Videobeschreibung
In diesem Video wird eine Kurvendiskussion der e-Funktion f(x)=(2-x)e^x durchgeführt. Es werden dabei folgende Merkmale einer Funktion untersucht:
- Nullstellen
- Extremstellen
- Wendestellen
- Symetrieeigenschaften
- Randverhalten / Monotonieverhalten
- Krümmungsverhalten
Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion
Bei einer Kurvendiskussion werden wichtige Untersuchungen an der vorgegebenen Funktion untersucht. Meistens sind diese folgende: Nullstellen, Extrema (Maximum bzw. Minimum), Verhalten im Unendlichen, Wendestellen.
Beispielvorgehensweise: Um zu sehen, ob die Funktion Extremstellen hat, wird die erste Ableitung gleich Null gesetzt. Gibt es eine Lösungsmenge, so hat man die notwendige Bedingung für Extremstellen bzw. Extrema erfüllt. Um zu schauen, ob die Extremstelle ein Maximum oder Minimum ist, wird der erittelte x-Wert in die zweite Ableitung der Funktion eingesetzt. Ist der errechnete y-Wert dann negativ, so ist die Extremstelle ein Maximum. Ist der errechnete y-Wert dann positiv, so ist die Extremstelle ein Minimum.
Kurvendiskussion e-Funktion f(x) = (2-x) e^x Teil B
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Trassierung (Rutsche) - Funktionsgleichung 3. Grades bestimmen
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades anhand vorgegebener Bedindungen bestimmen.
Videobeschreibung
Das nebenstehende Bild zeigt den Entwurf einer Metallrutsche für Spielplätze. Das seitliche Profil der Rutsche soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modelliert werden und durch deren Extrempunkte begrenzt sein. In diesem Video wird dir die Aufgabe c.) Schritt für Schritt erklärt.
Aufgabe:
a) Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm. (wird in Videoclip s162 behandelt)
b) Der TÜV fordert von den Herstellern, dass Spielzeugrutschen an keiner Stelle steiler sein dürfen als 50° gegen die Horizontale. Entspricht die Rutsche dieser Anforderung? (Wird in s162 behandelt)
Modellierung durch den Graph einer ganzrationalen Funktion
Eine sogenannte „Steckbriefaufgabe“ ist, wenn man so will, eine „rückwärtsgerechnete Kurvendiskussion“. Bei einer normalen Kurvendiskussion geht es darum, aus einer gegebenen Funktion besondere Stellen wie zum Beispiel Nullstellen, Wendestellen, Extrempunkte oder auch den y-Achsenabschnitt zu berechnen. Bei der Steckbriefaufgabe sind einige dieser Punkte vorgegeben und Funktion muss aufgestellt werden. Wie so etwas funktioniert zeigt Stefan in diesem Videoclip.
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Ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen
Ganzrationale Funktion 3. Grades unter einer bestimmten Aufgabenstellung bestimmen.
Videobeschreibung
In diesem Video wird gezeigt, wie eine ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmt unter folgender Aufgabenstellung bestimmt wird:
Funktionsgleichung bestimmen
Die neue Umgebungsstraße soll im Punkt A (-2/1,5) “glatt” an der alten Bundesstraße anschließen, sie soll durch den Punkt B (1/1,5) gehen und am Punkt C (2/-0,5) unter einem beliebigen Winkel wieder auf die Bundesstraße treffen. Bestimme mit Hilfe der Skizze (siehe rechts) und den genannten Bedingungen eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die die Umgehungsstraße zwischen den Anschlusspunkten beschreibt.
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Das nebenstehende Bild zeigt den Entwurf einer Metallrutsche für Spielplätze. Das seitliche Profil der Rutsche soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modelliert werden und durch deren Extrempunkte begrenzt sein.
Aufgabe:
a) Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm. (wird in Videoclip s162 behandelt)
b) Der TÜV fordert von den Herstellern, dass Spielzeugrutschen an keiner Stelle steiler sein dürfen als 50° gegen die Horizontale. Entspricht die Rutsche dieser Anforderung? (Wird in diesem Videoclip behandelt)
c) Entwerfen Sie eine 4m hohe Rutsche, deren Steigung an der steilsten Stelle genau 45° beträgt. (Wird in Videoclip S164 behandelt)
Eine sogenannte „Steckbriefaufgabe“ ist, wenn man so will, eine „rückwärtsgerechnete Kurvendiskussion“. Bei einer normalen Kurvendiskussion geht es darum, aus einer gegebenen Funktion besondere Stellen wie zum Beispiel Nullstellen, Wendestellen, Extrempunkte oder auch den y-Achsenabschnitt zu berechnen. Bei der Steckbriefaufgabe sind einige dieser Punkte vorgegeben und Funktion muss aufgestellt werden. Wie so etwas funktioniert zeigt Stefan in diesem Videoclip.
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Funktionen ableiten ist an sich eine ganz einfache Sache – man muss nur die Regeln kennen und anwenden. Das ist manchmal sogar ein Vorgehen nach dem sogenannten „Schema F“ – also einfach auswendig Gelerntes blind anwenden. Auch wenn es uns immer wichtig ist, dass nichts blind auswendig gelernt und wiedergegeben, sondern wirklich verstanden wird – die Kettenregel ist wirklich so einfach, dass man einfach nur die Regel lernen und anwenden muss. Wie sie funktioniert zeigt Stefan in diesem Videoclip und wendet die Kettenregel an den Aufgaben an, die du rechts im Bild siehst.
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Eine ganzrationale Funktion vierten Grades verläuft durch den Punkt P(-2 | -4) und besitzt im Ursprung des Koordinatensystems ein relatives Minimum. Die Steigung ihrer Tangente an der Nullstelle x = -1 beträgt 3.
Aufgabe: Bestimme die Funktionsgleichung dieser Funktion.
Eine sogenannte „Steckbriefaufgabe“ ist, wenn man so will, eine „rückwärtsgerechnete Kurvendiskussion“. Bei einer normalen Kurvendiskussion geht es darum, aus einer gegebenen Funktion besondere Stellen wie zum Beispiel Nullstellen, Wendestellen, Extrempunkte oder auch den y-Achsenabschnitt zu berechnen. Bei der Steckbriefaufgabe sind einige dieser Punkte vorgegeben und Funktion muss aufgestellt werden. Wie so etwas funktioniert zeigt Stefan in diesem Videoclip.
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Der stündliche Benzinverbrauch y eines bestimmten PKW Typs lässt sich durch die folgende Funktion bestimmen:
y(x) = 0,0003x² – 0,08x + 10
(x = Geschwindigkeit in km/h)
Aufgabe:
1.) Welcher Weg kann mit einem Vorrat von 48 Litern Benzin maximal zurückgelegt werden?
2.) Welche Geschwindigkeit ist zu wählen?
3.) Welcher Verbrauch ergibt sich pro Stunde?
Bei einer Extremwertaufgabe geht es darum, dass der höchste oder tiefste Wert einer Funktion gefunden werden soll. Und hier zeigt sich die Kurvendiskussion endlich mal als nützlich für den Alltag. Denn tatsächlich können Ableitungen, Wendestellen und so weiter dabei helfen, diese Punkte zu finden. Und gerade beim Autofahren will man doch sparen, oder? Wie das geht, zeigt Stefan in diesem Videoclip.
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