Extremwertaufgaben - Maximale Fläche eines Bilderrahmens
Den Bilderrahmen (Maße) mithilfe einer Funktionsgleichung und der Berechnung des Extremwertes bestimmen.
Videobeschreibung
In diesem Video zum Thema Extremwertaufgaben wird folgende Aufgabe Schritt für Schritt erklärt:
Aufgabe:
Ein Maler hat eine wertvolle schmale Goldleiste von 160 Zentimeter Länge, die er – ohne dass dabei Verschnitt entsteht – als Rahmen für ein zu malendes Bild verwenden will. Das Bild soll dabei möglichst groß werden.
Extremwertaufgaben
Bei einer Extremwertaufgabe geht es darum, dass der höchste oder tiefste Wert einer Funktion gefunden werden muss. Und hier zeigt sich die Kurvendiskussion endlich mal als nützlich für den Alltag. Denn tatsächlich können Ableitungen, Wendestellen und so weiter dabei helfen, diese Punkte zu finden. Wie das geht, zeigt Stefan in diesem Video.
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Funktionen ableiten ist an sich eine ganz einfache Sache – man muss nur die Regeln kennen und anwenden. Das ist manchmal sogar ein Vorgehen nach dem sogenannten „Schema F“ – also einfach auswendig Gelerntes blind anwenden. Auch wenn es uns immer wichtig ist, dass nichts blind auswendig gelernt und wiedergegeben, sondern wirklich verstanden wird – die Kettenregel ist wirklich so einfach, dass man einfach nur die Regel lernen und anwenden muss. Wie sie funktioniert zeigt Stefan in diesem Videoclip und wendet die Kettenregel an den Aufgaben an, die du rechts im Bild siehst.
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Eine ganzrationale Funktion vierten Grades verläuft durch den Punkt P(-2 | -4) und besitzt im Ursprung des Koordinatensystems ein relatives Minimum. Die Steigung ihrer Tangente an der Nullstelle x = -1 beträgt 3.
Aufgabe: Bestimme die Funktionsgleichung dieser Funktion.
Eine sogenannte „Steckbriefaufgabe“ ist, wenn man so will, eine „rückwärtsgerechnete Kurvendiskussion“. Bei einer normalen Kurvendiskussion geht es darum, aus einer gegebenen Funktion besondere Stellen wie zum Beispiel Nullstellen, Wendestellen, Extrempunkte oder auch den y-Achsenabschnitt zu berechnen. Bei der Steckbriefaufgabe sind einige dieser Punkte vorgegeben und Funktion muss aufgestellt werden. Wie so etwas funktioniert zeigt Stefan in diesem Videoclip.
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Der stündliche Benzinverbrauch y eines bestimmten PKW Typs lässt sich durch die folgende Funktion bestimmen:
y(x) = 0,0003x² – 0,08x + 10
(x = Geschwindigkeit in km/h)
Aufgabe:
1.) Welcher Weg kann mit einem Vorrat von 48 Litern Benzin maximal zurückgelegt werden?
2.) Welche Geschwindigkeit ist zu wählen?
3.) Welcher Verbrauch ergibt sich pro Stunde?
Bei einer Extremwertaufgabe geht es darum, dass der höchste oder tiefste Wert einer Funktion gefunden werden soll. Und hier zeigt sich die Kurvendiskussion endlich mal als nützlich für den Alltag. Denn tatsächlich können Ableitungen, Wendestellen und so weiter dabei helfen, diese Punkte zu finden. Und gerade beim Autofahren will man doch sparen, oder? Wie das geht, zeigt Stefan in diesem Videoclip.
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Eine Parabel 3. Ordnung hat in W( 0 / (8/9) ) einen Wendepunkt. Sie schneidet die x-Achse in N( 1 / 0 ) und
begrenzt mit den Koordinatenachsen im 1. Feld eine Fläche vom Inhalt A = (15/36) FE ein.
Aufgabe: Bestimme die Funktionsgleichung.
Eine sogenannte „Steckbriefaufgabe“ ist, wenn man so will, eine „rückwärtsgerechnete Kurvendiskussion“. Bei einer normalen Kurvendiskussion geht es darum, aus einer gegebenen Funktion besondere Stellen wie zum Beispiel Nullstellen, Wendestellen, Extrempunkte oder auch den y-Achsenabschnitt zu berechnen. Bei der Steckbriefaufgabe sind einige dieser Punkte vorgegeben und nun muss die passende Funktion dazu aufgestellt werden. Wie so etwas funktioniert zeigt Stefan in diesem Video.
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Differentialrechnung – Differenzialrechnung
Differentialrechung anschaulich im Koordinatensystem mit Hilfe von Tangente und Sekante erklärt.
Aufgabe: Leite die Funktion f(x)=1/2x²-1 mit dem Differenzialquotienten (h-Methode) ab. Die Ableitung mit den Ableitungsregeln zu finden, ist nicht schwer. Die Ableitung ist f`(x) = x , aber mit dem Differenzialqoutienten wird das schon etwas schwieriger.
Dazu der Video Clip.
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Differentialrechnung – Differenzialrechnung
Differentialrechung anschaulich im Koordinatensystem mit Hilfe von Tangente und Sekante erklärt.
Aufgabe: Leite die Funktion f(x)=1/2x²-1 mit dem Differenzialquotienten (h-Methode) an der Stelle x=1 ab.
Ein Video, in dem genau das erklärt wird.
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Extremstellen berechnen: Wie mache ich das? Um die Extremstelle zu finden, muss Du die 1. Ableitung gleich 0 setzen und nach x umstellen. Ob diese Extemstelle nun ein Hochpunkt (Maximum) oder ein Tiefpunkt (Minimum) ist, findest Du mit der 2. Ableitung raus. Extremstelle gefunden! Wenn Dich nicht nur die Extremstelle, sondern den Extrempunkt berechnen will, muss ich die gefundenen x-Werte in die Funktion einsetzen und bekomme damit meine y-Werte.
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In einer Beispielaufgabe behandelt Stefan ausführlich Nullstellen, Extremstellen, sowie Wendestellen und prüft die Funktion zum Schluss auch noch auf Symmetrie. In diesem Videoclip geht es um Extremstellen.
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s15_Integrieren-Differenzieren_Grundlagen_s15
Die erste Ableitung einer Funktion ist ihre Steigung. Die trigonometrischen Größen Sinus und Cosinus lassen sich sehr leicht durch grafisch unterstützt vermittelte Ableitungen erklären. Stefan zeigt in diesem Videoclip, wie die beiden Größen zusammenhängen, was Ableiten und was “Aufleiten” ist (also “differenzieren” und “integrieren”).
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